cos (α – β) ve lo ricordate?

L’altro giorno sono andato (… cosa volete è obbligatorio per i neo-iscritti) al corso di deontologia professionale dell’ordine degli ingegneri di Ravenna. Poiché tra un discorso interessante e l’altro c’erano anche discorsi un po’ noiosi mi è venuta la voglia di fare qualche dimostrazione matematica dei vecchi studi… e visto che ultimamente l’ho usato spesso, proprio la dimostrazione di cos (α-β).

Poi metterò anche le pagine del mio blocco appunti così vedete che è vero che gli ingegneri sono un po’ matti 🙂

La dimostrazione di cos(α-β) è la base per la facile dimostrazione delle formule gemelle

cos (α-β)
sin (α-β)
sin (α+β)

cos (α-β) = ?

ab_aprimobprimo

 

Il segmento AB sulla circonferenza con c’entro nell’origine lo trasliamo di un angolo β in modo che il punto B vada a coincidere sull’asse x.

Deve ovviamente essere: \overline{AB}=\overline{A'B'}

pitagora

Per il famoso Pitagora

\overline{AB} = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}

Ed anche

\overline{A^\prime B^\prime} = \sqrt{(x_A^\prime-x_B^\prime)^2+(y_A^\prime-y_B^\prime)^2}

E imponiamo l’uguaglianza dei segmenti:

\overline{AB} = \overline{A^\prime B^\prime}

Poiché abbiamo tutte componenti positive possiamo elevare al quadrato e avere:

\overline{AB}^2 = \overline{A^\prime B^\prime}^2

Quindi

(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2 = (x_A^\prime-x_B^\prime)^2+(y_A^\prime-y_B^\prime)^2

Sempre dalla trigonometria risulta che:

A = \begin{cases} x_A=r \cdot cos\alpha \\ y_A = r \cdot sin\alpha \end{cases}

e

B = \begin{cases} x_A=r \cdot cos\beta \\ y_A = r \cdot sin\beta \end{cases}

e

A^\prime = \begin{cases} x_A=r \cdot cos(\alpha-\beta) \\ y_A = r \cdot sin(\alpha-\beta)) \end{cases}

e

B^\prime = \begin{cases} x_A=r \cdot cos(\beta-\beta) \\ y_A = r \cdot sin(\beta-\beta)) \end{cases}

Quindi

\overline{AB}^2 = (r\cdot cos\alpha - r\cdot cos\beta)^2+(r\cdot sin\alpha-r\cdot sin\beta)^2

e

\overline{A^\prime B^\prime}^2 = (r\cdot cos(\alpha-\beta) - r\cdot cos0)^2+(r\cdot sin(\alpha-\beta) - r\cdot sin0)^2 = (r\cdot cos(\alpha-\beta) - r)^2+(r\cdot sin(\alpha-\beta))^2

Imponiamo di avere un raggio pari ad 1: r=1

Abbiamo:

\overline{AB}^2 = \cos^2\alpha + \cos^2\beta - 2\cos\alpha\cos\beta + \sin^2\alpha + \sin^2\beta-2\sin\alpha\sin\beta

e

\overline{A^\prime B^\prime}^2 = \cos^2(\alpha-\beta) + 1 - 2\cos(\alpha-\beta) + \sin^2(\alpha-\beta)

Poiché equivale l’uguaglianza: \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Abbiamo

\overline{AB}^2 = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta) - 2\cos\alpha\cos\beta -2\sin\alpha\sin\beta = 1 + 1 - 2\cos\alpha\cos\beta -2\sin\alpha\sin\beta = 2 - 2\cos\alpha\cos\beta -2\sin\alpha\sin\beta

e

\overline{A^\prime B^\prime}^2 = (\cos^2(\alpha-\beta) + \sin^2(\alpha-\beta))+ 1 - 2\cos(\alpha-\beta) = 1 + 1 - 2\cos(\alpha-\beta) = 2 - 2\cos(\alpha-\beta)

Quindi se \overline{AB}^2 = \overline{A^\prime B^\prime}^2

si ha:
2 - 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta = 2 - 2\cos(\alpha-\beta)

(2 - 2) - 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta = - \cos(\alpha-\beta)

2\cos(\alpha-\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta + 2\sin\alpha\sin\beta

\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta

CVD.

Lo so… gli ingegneri tendono alla follia a volte… 😀

cos_alpha_men_beta_1

cos_alpha_men_beta_2

alpha_men_beta_3

cos (α – β) ve lo ricordate?