Trasformazioni nel piano

Fabio Bombardi

Visto che abbiamo appena parlato del cos(α-β) in un nostro precedente articolo (http://www.versionestabile.it/blog/cos-alpha-beta-ve-lo-ricordate) perché non parlare delle trasfromazioni nel piano, per arrivare ad ottenere la formula della rotazione di un punto rispetto ad un punto generico Ω(x0,y0)? 🙂

Traslazione

traslazione_a_aprimo

Un punto A viene traslato in A’ di Δx e Δy

Quindi: A^\prime = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Mentre A’ sarà: A^\prime = \begin{bmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + \Delta x \\ y + \Delta y \end{bmatrix}

In rappresentazione matriciale potremmo scrivere

 A^\prime = T + A = \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Rotazione rispetto all’origine

rotazione rispetto origine

Qui abbiamo: A = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x = r\cdot\cos\alpha \\ y = r\cdot\sin\alpha \end{bmatrix}

Il suo punto A’ ruotato di β in senso antiorario sarà: A^\prime = \begin{bmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^\prime = r\cdot\cos(\alpha + \beta) \\ y^\prime = r\cdot\sin(\alpha + \beta) \end{bmatrix}

Ecco che ci vengono in aiuto le tanto dimostrate formule del coseno e del seno della somma di angoli! 😀

A^\prime = \begin{bmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^\prime = r\cdot\cos(\alpha + \beta) \\ y^\prime = r\cdot\sin(\alpha + \beta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^\prime = r\cdot\cos\alpha\cos\beta - r\cdot\sin\alpha\sin\beta \\ y^\prime = r\cdot\sin\alpha\cos\beta) + r\cdot\cos\alpha\sin\beta \end{bmatrix}

Poichè

\begin{cases} x = r\cdot\cos\alpha \\ y = r\cdot\sin\alpha \end{cases}

A’ diventa:

A^\prime = \begin{bmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^\prime = r\cdot\cos(\alpha + \beta) \\ y^\prime = r\cdot\sin(\alpha + \beta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^\prime = r\cdot\cos\alpha\cos\beta - r\cdot\sin\alpha\sin\beta \\ y^\prime = r\cdot\sin\alpha\cos\beta) + r\cdot\cos\alpha\sin\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^\prime = x\cos\beta - y\sin\beta \\ y^\prime = y\cos\beta) + x\sin\beta \end{bmatrix}

In rappresentazione matriciale diventa $latex

A^\prime = R \cdot A = \begin{bmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Scala

scala

Nell’immagine precedente si è ipotizzato: \begin{cases} scala x = s_x = \frac{1}{2} \\ scala y = s_y = \frac{1}{2} \end{cases}

Qui abbiamo: A = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Il suo punto A’ scalato di sx e sy lo scriviamo come: A^\prime = \begin{bmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^\prime = x\cdot s_x \\ y^\prime = y\cdot s_y \end{bmatrix}

In rappresentazione matriciale diventa $latex

A^\prime = S \cdot A = \begin{bmatrix} s_x \\ s_y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Trasformazioni nel piano