cos (α - β) ve lo ricordate?

L’altro giorno sono andato (… cosa volete è obbligatorio per i neo-iscritti) al corso di deontologia professionale dell’ordine degli ingegneri di Ravenna. Poiché tra un discorso interessante e l’altro c’erano anche discorsi un po’ noiosi mi è venuta la voglia di fare qualche dimostrazione matematica dei vecchi studi… e visto che ultimamente l’ho usato spesso, proprio la dimostrazione di cos (α-β).

Poi metterò anche le pagine del mio blocco appunti così vedete che è vero che gli ingegneri sono un po’ matti 🙂

La dimostrazione di cos(α-β) è la base per la facile dimostrazione delle formule gemelle

cos (α-β)
sin (α-β)
sin (α+β)

cos (α-β) = ?

Il segmento AB sulla circonferenza con c’entro nell’origine lo trasliamo di un angolo β in modo che il punto B vada a coincidere sull’asse x.

Deve ovviamente essere: $\overline{AB}=\overline{A'B'}$

Per il famoso Pitagora

$\overline{AB} = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

Ed anche

$\overline{A^\prime B^\prime} = \sqrt{(x_A^\prime-x_B^\prime)^2+(y_A^\prime-y_B^\prime)^2}$

E imponiamo l’uguaglianza dei segmenti:

$\overline{AB} = \overline{A^\prime B^\prime}$

Poiché abbiamo tutte componenti positive possiamo elevare al quadrato e avere:

$\overline{AB}^2 = \overline{A^\prime B^\prime}^2$

Quindi

$(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2 = (x_A^\prime-x_B^\prime)^2+(y_A^\prime-y_B^\prime)^2$

Sempre dalla trigonometria risulta che:

$A = \begin{cases} x_A=r \cdot cos\alpha \\ y_A = r \cdot sin\alpha \end{cases}$

$B = \begin{cases} x_A=r \cdot cos\beta \\ y_A = r \cdot sin\beta \end{cases}$

$A^\prime = \begin{cases} x_A=r \cdot cos(\alpha-\beta) \\ y_A = r \cdot sin(\alpha-\beta)) \end{cases}$

$B^\prime = \begin{cases} x_A=r \cdot cos(\beta-\beta) \\ y_A = r \cdot sin(\beta-\beta)) \end{cases}$

Quindi

$\overline{AB}^2 = (r\cdot cos\alpha - r\cdot cos\beta)^2+(r\cdot sin\alpha-r\cdot sin\beta)^2$

$\overline{A^\prime B^\prime}^2 = (r\cdot cos(\alpha-\beta) - r\cdot cos0)^2+(r\cdot sin(\alpha-\beta) - r\cdot sin0)^2 = (r\cdot cos(\alpha-\beta) - r)^2+(r\cdot sin(\alpha-\beta))^2$

Imponiamo di avere un raggio pari ad 1: $r=1$

Abbiamo:

$\overline{AB}^2 = \cos^2\alpha + \cos^2\beta - 2\cos\alpha\cos\beta + \sin^2\alpha + \sin^2\beta-2\sin\alpha\sin\beta$

$\overline{A^\prime B^\prime}^2 = \cos^2(\alpha-\beta) + 1 - 2\cos(\alpha-\beta) + \sin^2(\alpha-\beta)$

Poiché equivale l’uguaglianza: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$

Abbiamo

$\overline{AB}^2 = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta) - 2\cos\alpha\cos\beta -2\sin\alpha\sin\beta = 1 + 1 - 2\cos\alpha\cos\beta -2\sin\alpha\sin\beta = 2 - 2\cos\alpha\cos\beta -2\sin\alpha\sin\beta$

$\overline{A^\prime B^\prime}^2 = (\cos^2(\alpha-\beta) + \sin^2(\alpha-\beta))+ 1 - 2\cos(\alpha-\beta) = 1 + 1 - 2\cos(\alpha-\beta) = 2 - 2\cos(\alpha-\beta)$