Adesso che nell’articolo sulle Coordinate Omogenee abbiamo imparato a comporre le trasformazioni nel piano possiamo facilmente ricavarci la formula di un punto ruotato rispetto ad un punto generico .
Per ottenerla basta applicare una operazione di traslazione nell’origine del punto , una rotazione rispetto all’origine di e successivamente una nuova traslazione che riporti A al suo posto 🙂
Non possiamo con la rappresentazione matriciale presentata nell’articolo sulle Trasformazioni Nel Piano concatenare la rotazione e la scala con la traslazione. Questo perché in questo secondo caso abbiamo una somma matriciale e nei primi due abbiamo una moltiplicazione.
Possiamo però riscrivere le matrici nel cosiddetto “sistema di riferimento omogeneo”. Non starò qui a spiegare il concetto di sistema di riferimento omogeneo, dirò solo che un punto A la cui rappresentazione matriciale è nel sistema di riferimento omogeneo diventa
Le rispettive matrici di trasformazione diventano:
Traslazione:
Rotazione:
Scala:
Vediamo se i conti ci tornano 🙂
Questa volta possiamo utilizzare la moltiplicazione tra matrici anche per la Traslazione.
Traslazione
Che è esattamente il nostro punto traslato in coordinate omogenee.
Rotazione
Che è esattamente il nostro punto ruotato in coordinate omogenee.
Scala
Che è esattamente il nostro punto scalato in coordinate omogenee.
Regola di composizione
Quando si compongono 2 o più trasformazioni la precedente è sempre a destra della successiva. Ovvero se abbiamo 3 trasformazioni , , che vengono fatte in sequenza: Prima , poi e per ultima il punto A’ sarà dato da:
Visto che abbiamo appena parlato del cos(α-β) in un nostro precedente articolo (http://www.versionestabile.it/blog/cos-alpha-beta-ve-lo-ricordate) perché non parlare delle trasfromazioni nel piano, per arrivare ad ottenere la formula della rotazione di un punto rispetto ad un punto generico Ω(x0,y0)? 🙂
Traslazione
Un punto A viene traslato in A’ di Δx e Δy
Quindi:
Mentre A’ sarà:
In rappresentazione matriciale potremmo scrivere
Rotazione rispetto all’origine
Qui abbiamo:
Il suo punto A’ ruotato di β in senso antiorario sarà:
Ecco che ci vengono in aiuto le tanto dimostrate formule del coseno e del seno della somma di angoli! 😀
Poichè
A’ diventa:
In rappresentazione matriciale diventa $latex
Scala
Nell’immagine precedente si è ipotizzato:
Qui abbiamo:
Il suo punto A’ scalato di sx e sy lo scriviamo come:
L’altro giorno sono andato (… cosa volete è obbligatorio per i neo-iscritti) al corso di deontologia professionale dell’ordine degli ingegneri di Ravenna. Poiché tra un discorso interessante e l’altro c’erano anche discorsi un po’ noiosi mi è venuta la voglia di fare qualche dimostrazione matematica dei vecchi studi… e visto che ultimamente l’ho usato spesso, proprio la dimostrazione di cos (α-β).
Poi metterò anche le pagine del mio blocco appunti così vedete che è vero che gli ingegneri sono un po’ matti 🙂
La dimostrazione di cos(α-β) è la base per la facile dimostrazione delle formule gemelle
cos (α-β)
sin (α-β)
sin (α+β)
cos (α-β) = ?
Il segmento AB sulla circonferenza con c’entro nell’origine lo trasliamo di un angolo β in modo che il punto B vada a coincidere sull’asse x.
Deve ovviamente essere:
Per il famoso Pitagora
Ed anche
E imponiamo l’uguaglianza dei segmenti:
Poiché abbiamo tutte componenti positive possiamo elevare al quadrato e avere:
Quindi
Sempre dalla trigonometria risulta che:
e
e
e
Quindi
e
Imponiamo di avere un raggio pari ad 1:
Abbiamo:
e
Poiché equivale l’uguaglianza:
Abbiamo
e
Quindi se
si ha:
→
→
→
CVD.
Lo so… gli ingegneri tendono alla follia a volte… 😀